Question

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞a＞0）与两条平行线l₁：y=x+a和l₂：y=x-a的交点相连所得到的平行四边形的面积为8b²，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 将直线y=x+a代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由两平行直线的距离公式，结合平行四边形的面积公式，化简整理，运用双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由y=x+a代入双曲线的方程，可得（b²-a²）x²-2a³x-a⁴-a²b²=0，
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{2{a}^{3}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{4}+{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}-{b}^{2}}）^{2}-\frac{4（{a}^{4}+{a}^{2}{b}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
由两平行直线的距离公式可得d=$\frac{|-a-a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$a，
由题意可得8b²=2$\sqrt{2}$•$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$•$\sqrt{2}$a，
化为a²=2b²，即b²=$\frac{1}{2}$a²，又b²=c²-a²=$\frac{1}{2}$a²，
可得c²=$\frac{3}{2}$a²，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意直线和双曲线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及两平行直线的距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．