Question

已知函数f（x）=xsinx+cosx，给出如命题：
①f（x）是偶函数；
②f（x）在[0，

3π

2

]上单调递减，在(

3π

2

，2π]上单调递增；
③函数f（x）在[-

3π

2

，

3π

2

]上有3个零点；
④当x≥0时，f（x）≤x²+1恒成立；
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用偶函数的定义判断；
②利用导数求解，导数大于0求增区间，导数小于0求减区间；
③研究极值、端点处的函数值的符号；
④转化为f（x）-（x²+1）≤0恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于0即可．

解答： 解：对于①，显然定义域为R，f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）．所以函数为偶函数，所以①为真命题；
对于②，f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当x∈[0，

π

2

]时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，故②为假命题；
对于③，令f（x）=0，所以

1

x

=-tanx，做出y=

1

x

及y=-tanx在[-

3π

2

，

3π

2

]上的图象可知，它们在[-

3π

2

，

3π

2

]上只有两个交点，所以原函数在[-

3π

2

，

3π

2

]有两个零点，故③为假命题；

对于④，要使当x≥0时，f（x）≤x²+1恒成立，只需当x≥0时，f（x）-x²-1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx-x²-1≤0恒成立，而y′=xcosx-2x=（cosx-2）x显然小于等于0恒成立，所以该函数在[0，+∞）上递减，因此x=0时y_max=0+cos0-1=0，故当x≥0时，f（x）≤x²+1恒成立，故④为真命题．
故答案为①④．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、零点的方法，要注意数形结合的思想的应用．