Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．

解答： 解：由题意可知过焦点的倾斜角为30°直线方程为y=

3

3

（x-

p

2

），
联立

y2=2px y= 3 3 (x- p 2 )

可得：⇒x²-7px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=7p，x₁x₂=

p2

4

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(7p)2-4× p2 4

=4

3

p，
∴|AB|=

1+( 3 3 )2

|x₁-x₂|=

2 3

3

×4

3

p=8，
解得：p=1，
故答案为：1

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．