Question

14．已知抛物线y²=4x的焦点为F，点P，Q（异于顶点O）在抛物线上．
（1）若点P（1，2），试求过点P且与抛物线相切的直线方程；
（2）若过点P，Q且与抛物线分别相切的直线交于点M，证明：|PF|，|MF|，|QF|依次成等比数列．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，可得切线方程；
（2）求出过点P，Q且与抛物线分别相切的直线方程，可得M的坐标，利用等比数列的定义进行证明．

解答 （1）解：由题意，y=2$\sqrt{x}$，y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，x=1，y′=1，
∴过点P且与抛物线相切的直线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则过P的切线方程为y-y₁=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$（x-x₁），即y=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$x+$\sqrt{{x}_{1}}$，
同理过Q的切线方程为y=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$x+$\sqrt{{x}_{2}}$，可得M（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$），
∴|PF|=x₁+1，|QF|=x₂+1，|MF|²=（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-1）²+（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$）²，
∴|MF|²=|PF||QF|，
∴|PF|，|MF|，|QF|依次成等比数列．

点评 本题考查抛物线的切线方程，考查等比数列的证明，综合性强．