Question

lnx+lny=0，k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，求k最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用已知条件求出xy的关系式，然后化简不等式，利用函数的单调性求出表达式的最值即可．

解答： 解：∵已知正实数x，y满足lnx+lny=0，∴xy=1．
∵k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，∴k≤

x2+4y2

x+2y

，
故k应小于或等于

x2+4y2

x+2y

的最小值．
令 x+2y=t，则由基本不等式可得t≥2

2

，当且仅当 x=2y 时，取等号，故t∈[2

2

，+∞）．
故

x2+4y2

x+2y

=

t2-4

t

=t-

4

t

，故k应小于或等于t-

4

t

的最小值．
由于函数 t-

4

t

在[2

2

，+∞） 上是增函数，故当t=2

2

时，t-

4

t

取得最小值为

2

，
故k的最大值是

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．