Question

对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有f′（x）＞f（x）成立，则称函数f（x）是D上的J函数．
（Ⅰ）当函数f（x）=me^xlnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）为（0，+∞）上的J函数，
①试比较g（a）与e^a-1g（1）的大小；
②求证：对于任意大于1的实数x₁，x₂，x₃，…，x_n，均有g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₁）+g（lnx₂）+…+g（lnx_n）．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：

分析：（1）我们要证明它是一个J函数，就应该满足J函数的定义f'（x）＞f（x），通过这个不等式，我们可以求出m的取值范围，（2）在已经告诉你是J函数的情况下，要我们比较大小，而且题干中还出现来e^a-1，再结合我们肯定还要运用的f'（x）＞f（x），其实等价于：f'（x）-f（x）＞0，也就是讲我们在下面的解题当中要用到这两个点，特别是后面这点，导函数减原函数，什么情况下会有，一般来讲就只有除以一个e^x函数才会出现，在联想到题干中给出了e^a-1，这个时候我们就可以大胆的构造新函数，也就是我们解答中的函数．第二问中的第二小问，就是要充分利用好它的上一问．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=me^xlnx，可得f′(x)=m(exlnx+

ex

x

)，
因为函数f（x）是J函数，所以m(exlnx+

ex

x

)＞mexlnx，即

mex

x

＞0，
因为

ex

x

＞0，所以m＞0，即m的取值范围为（0，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）①构造函数h(x)=

g(x)

ex

，x∈(0，+∞)，
则h′(x)=

g′(x)-g(x)

ex

＞0，可得h（x）为（0，+∞）上的增函数，
当a＞1时，h（a）＞h（1），即

g(a)

ea

＞

g(1)

e

，得g（a）＞e^a-1g（1）；
当0＜a＜1时，h（a）＜h（1），即

g(a)

ea

＜

g(1)

e

，得g（a）＜e^a-1g（1）；
当a=1时，h（a）=h（1），即

g(a)

ea

=

g(1)

e

，得g（a）=e^a-1g（1）．…（6分）
②因为x₁+x₂+…+x_n＞x₁，所以ln（x₁+x₂+…+x_n）＞lnx₁，
由①可知h（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞h（lnx₁），
所以

g(ln(x1+x2+…+xn))

eln(x1+x2+…+xn)

＞

g(lnx1)

elnx1

，整理得

x1g(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞g(lnx1)，
同理可得

x2g(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞g(lnx2)，…，

xng(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞g(lnxn)．
把上面n个不等式同向累加可得g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₁）+g（lnx₂）+…+g（lnx_n）．…12

点评：此题难点在于第二问，解题的关键是要构造一个合理的函数，怎么构造这个函数呢，就要挖掘题干中的各种暗含的意思．而出现e^a-1，恰恰是一个提示，暗示着新建的函数要有e^x项，再结合：f'（x）-f（x）＞0，便可猜出我们要的函数．构造函数是函数里面一种常用的方法，特别是出现很突然的单项式时，往往需要构造一个新的函数求解．