Question

正方形AP₁P₂P₃的边长为4，点B，C分别是边P₁，P₂，P₃，P₄的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于P），则三棱锥P-ABC的外接球体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据题意，得折叠成的三棱锥P-ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P-ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=4、BP=CP=2，算出外接球的半径R=

6

，结合球的体积公式即可算出三棱锥P-ABC的外接球的体积．

解答： 解：根据题意，得
三棱锥P-ABC中，AP=4，BP=CP=2
∵PA、PB、PC两两互相垂直，
∴三棱锥P-ABC的外接球的直径2R=

AP2+BP2+CP2

=2

6

，
可得三棱锥P-ABC的外接球的半径为R=

6

，
根据球的体积公式，得三棱锥P-ABC的外接球的体积为

4

3

π(

6

)3=8

6

π；

点评：本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的体积公式等知识，考查空间想象能力，属于中档题．