Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx+（a-1）x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,存在型,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出a=1时函数f（x）的导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出函数的导函数，根据a的不同取值对函数定义域分段，由函数导函数的符号判断原函数在各区间段内的单调性；
（3）假设存在实数a使得对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，假设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）-ax，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=

1

2

x²-alnx+（a-1）x，
f′（x）=x-

a

x

+（a-1）=

(x-1)(x+a)

x

（x＞0）
当a=1时，f′（x）=

(x-1)(x+1)

x

，f′（1）=0，
则所求的切线方程为：y-f（1）=0（x-1），
即y=

1

2

；
（2）①当-a=1，即a=-1时，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当-a＜1，即-1＜a＜0时，
由0＜x＜-a，或x＞1时，f′（x）＞0，-a＜x＜1时，f′（x）＜0．
则f（x）在（0，-a），（1，+∞）单调递增，在（-a，1）上单调递减；
③当-a＞1，即a＜-1时，
由0＜x＜1或x＞-a时，f′（x）＞0；1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
f（x）在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减；
（3）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x₁＜x₂．
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=

1

2

x²-aln x-x，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则g′（x）=x-

a

x

-1≥0，
即a≤x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

在（0，+∞）上恒成立．，则a≤-

1

4

，
故存在这样的实数a满足题意，其范围为（-∞，-

1

4

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法求参数的取值范围，属难题．