Question

某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：p=24200-

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x²，且生产x吨的成本为R=50000+200x（元）．
（1）将该厂每月利润y（元）表示成月生产量x（吨）的函数；（利润=收入─成本）
（2）求月生产量多少吨时利润最大？

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）根据月利润=月收入-月成本可知L=Px-R，代入解析式即可求出所求；
（2）利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值时相应的x的值及其最值．

解答： 解：（1）设生产x吨产品，利润为y元，
则y=px-R=（24200-

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x²）x-（50000+200x）
=-

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x³+24000x-50000（x＞0）
（2）y′=-

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x2+24000，
由y'=0，得x=200
∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0
∴当x=200时，y_max=3150000（元）
即该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000元．

点评：本题主要考查了建立数学模型，三次函数的最值用导数来求解，同时考查了应用题的阅读能力，属于中档题．