Question

9．若倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的左焦点F且交椭圆于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意设出椭圆方程，求得直线AB的方程，和椭圆方程联立后求得A，B两点的纵坐标，由|AF|=3|BF|，转化为纵坐标的关系得答案．

解答 解：椭圆左焦点F（-c，0），
直线AB的倾斜角为$\frac{π}{6}$，则斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得$（{a}^{2}+3{b}^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{3}{b}^{2}cy-{b}^{4}=0$．
解得：${y}_{1}=\frac{\sqrt{3}{b}^{2}c+2a{b}^{2}}{{a}^{2}+3{b}^{2}}$，${y}_{2}=\frac{\sqrt{3}{b}^{2}c-2a{b}^{2}}{{a}^{2}+3{b}^{2}}$．
∵|AF|=3|BF|，∴y₁=-3y₂．
即$\sqrt{3}{b}^{2}c+2a{b}^{2}$=-3×（$\sqrt{3}{b}^{2}c-2a{b}^{2}$），
即$4\sqrt{3}{b}^{2}c=4a{b}^{2}$，
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．