Question

14．给出下列例题：
①若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）为周期函数；
②函数f（x）=（x-3）e^-x的单调递增区间为（2，+∞）；
③若函数f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，则f（$\frac{π}{4}$）的值为1；
④函数f（x）=2^|x||log_0.5x|-1的零点的个数为2，
其中真命题是①③④（将你认为真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①由函数奇偶性，周期性，对称性之间的关系，可知①正确；
②求导数，利用导数大于0，即可判断；
③求出f′（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-1，可得f（$\frac{π}{4}$）的值；
④函数f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零点个数，即方程2^x|log_0.5x|-1=0根个数，即方程|log_0.5x|=（$\frac{1}{2}$）^x根个数，即函数y=|log_0.5x|与y=（$\frac{1}{2}$）^x图象交点的个数，画出函数图象，数形结合，可得答案．

解答 解：对于①，如函数对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则是对称轴为1的函数，又为奇函数，所以是周期函数，且周期为4．所以正确．
对于②，f′（x）=（4-x）e^-x＞0，∴x＜4，∴函数f（x）=（x-3）e^-x的单调递增区间为（-∞，4），不正确；
③若函数f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，则f′（x）=-f'（$\frac{π}{4}$）sinx+cosx，所以f′（$\frac{π}{4}$）=-f'（$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$，所以f′（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-1，所以f（$\frac{π}{4}$）的值为1，正确；
④函数f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零点个数，
即方程2^x|log_0.5x|-1=0根个数，
即方程|log_0.5x|=（$\frac{1}{2}$）^x根个数，
即函数y=|log_0.5x|与y=（$\frac{1}{2}$）^x图象交点的个数，
在同一坐标系中画出函数y=|log_0.5x|与y=（$\frac{1}{2}$）^x图象，如下图所示：

由图可得：函数y=|log_0.5x|与y=（$\frac{1}{2}$）^x图象有2个交点，
故函数f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零点有2个，正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，须认真审题．