Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点作斜率为

3

的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在y轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为10

3

，则p=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B的坐标，依题意表示出焦点坐标，进而得到直线的方程，与抛物线方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，求得|x₁-x₂|，进而求得|y₁-y₂|，最后利用梯形面积公式建立等式求得p．

解答： 解：抛物线方程为y²=2px，设A，B点坐标分别为（x₁，y₁，），（x₂，y₂），
∴焦点F坐标为（

p

2

，0），
∴直线AB的方程为y=

3

（x-

p

2

），
带入抛物线方程得3x²-5px+

3p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

5p

3

，x₁x₂=

p2

4

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p

3

，
∴|y₁-y₂|=

4 3

3

•p
则梯形ABCD的面积为

1

2

•（AD+BC）•CD=

1

2

（x₁+x₂）|y₁-y₂|=

1

2

•

5p

3

•

4 3 p

3

=10

3

，
∴p=3．
故答案为：3

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．注重了数形结合思想和转化和化归的思想的运用．