Question

已知函数f（x）=x-

1

xm

，x∈（0，+∞），且f（2）=

3

2

．
（1）用定义证明函数f（x）在其定义域上为增函数；
（2）若a＞0，解关于x的不等式f（3^x-2-1）＜f（9^ax-1）．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）得m=1，根据f(x2)-f(x1)=(x2-

1

x2

)-(x1-

1

x1

)=

(x2-x1)•(1+x2x1)

x1x2

＞0，判断出即可．
（2）等价于0＜3^x-2-1＜9^ax-1，求解，分类讨论分解即可得出解集．

解答： 解：（1）由f(2)=

3

2

得m=1，
∴f(x)=x-

1

x

(x＞0)．对任0＜x₁＜x₂，
即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
（2）由（1）知，f（3^x-2-1）＜f（9^ax-1）等价于0＜3^x-2-1＜9^ax-1，
即

x＞2 (1-2a)x＜2

，(a＞0)．
当1-2a＞0即0＜a＜

1

2

时，由于

2

1-2a

＞2，
此时2＜x＜

2

1-2a

；
当1-2a=0即a=

1

2

时，x＞2；当1-2a＜0，
即a＞

1

2

时，

x＞2 x＞ 2 1-2a

，此时x＞2；
所以当0＜a＜

1

2

时，不等式解集为(2，

2

1-2a

)；
当a≥

1

2

时；解集为（2，+∞）．

点评：本题考查了指数函数的性质，运用不等式求解问题，分类讨论，属于中档题．