Question

已知变量x，y满足约束条件为

3x+4y-12≤0 x+2y-4≥0 y≤2

，若目标函数z=ax+y（a＞0）仅在点（4，0）处取得最大值，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y（a＞0）得y=-ax+z，
∵a＞0，∴目标函数的斜率k=-a＜0．
平移直线y=-ax+z，
要使目标函数z=ax+y（a＞0）仅在点（4，0）处取得最大值，
则目标函数的斜率k=-a＜-

3

4

，
即a＞-

3

4

，
故答案为：（-

3

4

，+∞）

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=ax+y仅在点A（4，0）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．