Question

3．已知函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}$．
（1）判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求函数f（x）在区间[2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的大小定义进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，利用单调性得到最值．

解答 解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2{x_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{{2{x_2}}}{{{x_2}+1}}=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）}}$…（4分）
∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数     …（7分）
（2）由（1）知，f（x）在[2，4]上是增函数．…（8分）
所以最大值为$f（4）=\frac{8}{5}$，
最小值为$f（2）=\frac{4}{3}$…（12分）

点评 本题考查了函数单调性的判定以及应用；利用定义证明函数的单调性要正确在区间取值、作差、变形、正确判断符号．