Question

若（1+3x）（1-2x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵．
（1）求（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²；
（2）求a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用,二项式定理

分析：（1）运用赋值法，分别令x=1，x=-1，两式相乘即可得到；
（2）求出（1-2x）⁴=的展开式的通项公式，再求各项的系数，即可得到所求值．

解答： 解：（1）（1+3x）（1-2x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵．
令x=1得，（1+3）•（-1）⁴=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=4
令x=-1，得，（1-3）（1+2）⁴=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-162．
则（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）
（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅）=-4×162=-648；
（2）由于（1-2x）⁴=的展开式的通项公式T_r+1=

C

r 4

(-2x)r，r=0，1，…，4
则a₁=

C

1 4

•(-2)

+3C

0 4

=-5，a₂=

C

2 4

•(-2)2+

3C

1 4

•(-2)=0，
a₃=

C

3 4

•(-2)3+

3C

2 4

•(-2)2=40，a₄=

C

4 4

•(-2)4+

3C

3 4

•(-2)3=-80，
a₅=3

C

4 4

•(-2)4=48．
则a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅=-5+0+120-320+240=35．

点评：本题考查二项式系数的性质和赋值法解题的方法，考查二项式的通项公式的运用：求某项的系数，考查运算能力，属于中档题．