Question

已知函数F₁（x）=e^|x-1|，F₂（x）=e 

x

3

+1，g（x）=

F1(x)+F2(x)

2

+

|F1(x)-F2(x)|

2

，若a，b∈[-1，5]，且当x₁、x₂∈[a，b]时，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，则b-a的最大值是

 

．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：阅读型,数形结合

分析：根据题意得出g（x）=

e|x-1|，x＜0，或x＞3 e x 3 +1，0≤x≤3

画图象可判断，根据

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，得出单调递增，运用图象可判断．

解答： 解：∵函数F₁（x）=e^|x-1|，F₂（x）=e 

x

3

+1，
g（x）=

F1(x)+F2(x)

2

+

|F1(x)-F2(x)|

2

，
∴g（x）=

e|x-1|，x＜0，或x＞3 e x 3 +1，0≤x≤3

据图象可知：g（x）=

e|x-1|，x＜0，或x＞3 e x 3 +1，0≤x≤3

（-∞，0）单调递减，（0，+∞）单调递增，
∵a，b∈[-1，5]，且当x₁、x₂∈[a，b]时，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴最大的单调递增区间为[0，5]，
即b-a=5，
故答案为：5．

点评：本题考查函数的图象的运用，熟练理解题意，据图象回答问题，属于难题．