Question

12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a∈R，a*0=a；（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．关于函数f（x）=（3x）*$\frac{1}{3x}$的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，+∞）．
其中所有正确说法的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 通过赋值法对f（x）的解析式进行化简，利用导数法分析出函数的单调性和最值，
再利用函数奇偶性的定义分析出函数的奇偶性，可得答案．

解答 解：由新运算“*”的定义，令c=0，则a*b=ab+a+b，
∴f（x）=（3x）*（$\frac{1}{3x}$）=1+3x+$\frac{1}{3x}$，
∴f′（x）=3-$\frac{1}{{3x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=±$\frac{1}{3}$；
对于①，根据对勾函数的图象和性质可得，
在区间（-∞，-$\frac{1}{3}$）上，函数图象向下，向上无限延长
∴函数f（x）的最小值为3是错误的；
对于②，f（-x）=1-3x-$\frac{1}{3x}$与-f（x）=-1-3x-$\frac{1}{3x}$不相等，
∴函数f（x）为奇函数是错误的；
对于③，当x∈（-∞，-$\frac{1}{3}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
同理，当x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-$\frac{1}{3}$）和（$\frac{1}{3}$，+∞），正确；
综上，正确的命题是③．
故选：B．

点评 本题考查了新定义运算型问题，也考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质问题，是综合题．