Question

3．已知函数f（x）=（$\sqrt{3}$tanx+1）cos²x．
（1）若α∈（$\frac{π}{2}$，π），且cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求f（α）的值；
（2）讨论函数f（x）在x≥$\frac{π}{4}$，且x≤$\frac{3π}{4}$范围内的单调性．

Answer 1

分析 （1）由cosα的值求出sinα、tanα的值，再计算f（α）的值；
（2）求出函数f（x）的定义域，化f（x）为正弦型函数，求出x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）和x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]时f（x）的单调性即可．

解答 解：（1）α∈（$\frac{π}{2}$，π），且cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{1{-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-2，
∴f（α）=（-2$\sqrt{3}$+1）×${（-\frac{\sqrt{5}}{5}）}^{2}$=$\frac{1-2\sqrt{3}}{5}$；
（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}，
且f（x）=（$\sqrt{3}$tanx+1）cos²x
=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$），
此时函数f（x）单调递减；
x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
此时函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递减，
在（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递增；
综上，函数f（x）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）和区间（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递减，
在区间（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递增．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质，以及同角的三角函数关系应用问题，是综合题．