Question

2．如图，在多面体ABCDEF中，正三角形BCE所在平面与菱形ABCD所在的平面垂直，FD⊥平面ABCD，且$BC=4，FD=2\sqrt{3}$．
（1）判断直线EF平面ABCD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠CBA=60°，求二面角A-FB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过点E作EH⊥BC于点H，连接HD，推导出平面ABCD⊥平面BCE，从而平面EF∥平面ABCD．
（2）连接AC，HA，推导出HA⊥BC，以H为坐标原点，HB，HA，HE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-FB-E的余弦值．

解答 解：（1）直线EF与平面ABCD平行，理由如下：
如图，过点E作EH⊥BC于点H，连接HD，因为在正三角形BCE中，BC=4，所以$EH=2\sqrt{3}$，
因为平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面ABCD，
故平面EF∥平面ABCD．
（2）如图，连接AC，HA，由（1）可得H为BC的中点，
又∠CBA=60°，故△ABC为等边三角形，
所以HA⊥BC．
又EH⊥平面ABCD，故HB，HA，HE两两垂直，以H为坐标原点，
HB，HA，HE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则$B（2，0，0），F（-4，2\sqrt{3}，2\sqrt{3}），E（0，0，2\sqrt{3}），A（0，2\sqrt{3}，0）$，
所以$\overrightarrow{BF}=（-6，2\sqrt{3}，2\sqrt{3}），\overrightarrow{BA}=（-2，2\sqrt{3}，0），\overrightarrow{BE}=（-2，0，2\sqrt{3}）$，
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{n_1}•\overrightarrow{BF}=0\\{n_1}•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-6{x_1}+2\sqrt{3}{y_1}+2\sqrt{3}{z_1}=0\\-2{x_1}+2\sqrt{3}{z_1}=0\end{array}\right.$，
取z₁=1，则$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，2，1）$是平面BEF的一个法向量，
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{n_2}•\overrightarrow{BF}=0\\{n_2}•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-6{x_2}+2\sqrt{3}{y_2}+2\sqrt{3}{z_2}=0\\-2{x_2}+2\sqrt{3}{y_2}=0\end{array}\right.$，
取y₂=1，得$\overrightarrow{n_2}=（\sqrt{3}，1，2）$是平面ABF的一个法向量．
所以$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{3+2+2}{{\sqrt{8}×\sqrt{8}}}=\frac{7}{8}$，
由图可知二面角A-FB-E为钝角，故二面角A-FB-E的余弦值是$-\frac{7}{8}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．