Question

13．已知函数f（x）=|x-m|+|x-2|．
（1）当m=1时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若不等式f（x）≥4-x对?x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．
（2）根据f（x）≥4-x恒成立，进行转化，构造函数利用数形结合进行比较即可得到结论．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=|x-1|+|x-2|．
不等式f（x）≥3等价为|x-1|+|x-2|≥3．
若x≤1，则不等式等价为-（x-1）-（x-2）≥3，
即-2x≥0，得x≤0，此时x≤0，
若1＜x＜2，则不等式等价为x-1-（x-2）≥3，即1≥3，此时不等式无解，
若x≥2，则不等式等价为x-1+x-2≥3，
即2x≥6，得x≥3，此时x≥3，
综上x≥3或x≤0，即不等式的解集为（-∞，0]∪[3，+∞）
（2）若不等式f（x）≥4-x对?x∈R恒成立，
即|x-m|+|x-2|≥4-x对?x∈R恒成立．
即|x-m|≥-|x-2|+4-x
设g（x）=-|x-2|+4-x，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{x≤2}\\{-2x+6，}&{x＞2}\end{array}\right.$，
作出函数g（x）和h（x）=|x-m|的图象如图：
若h（x）≥g（x）恒成立，
则只要h（2）≥2且m≥3，
即|2-m|≥2，且m≥3，
得m≥4或m≤0，
∵m≥3，
∴m≥4，
即实数m的取值范围[4，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用分类讨论和数形结合的数学思想是解决本题的关键．