Question

2．已知实数a，b，c，d满足$\frac{{a-3{e^a}}}{b}=\frac{3-2c}{d-4}$=1（e是自然对数的底数），则（a-c）²+（b-d）²的最小值为20．

Answer 1

分析 由已知得点（a，b）在曲线y=x-3e^x上，点（c，d）在曲线y=7-2x上，（a-c）²+（b-d）²的几何意义就是曲线y=x-3e^x到曲线y=7-2x上点的距离最小值的平方．由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵实数a，b，c，d满足 $\frac{{a-3{e^a}}}{b}=\frac{3-2c}{d-4}$=1，
∴b=a-3e^a，d=7-2c，
∴点（a，b）在曲线y=x-3e^x上，点（c，d）在曲线y=7-2x上，
（a-c）²+（b-d）²的几何意义就是曲线y=x-3e^x到曲线y=7-2x上点的距离最小值的平方．
考查曲线y=x-3e^x上和直线y=7-2x平行的切线，
∵y′=1-3e^x，求出y=x-3e^x上和直线y=7-2x平行的切线方程，
∴令y′=1-3e^x=-2，
解得x=0，∴切点为（0，-3），
该切点到直线y=7-2x的距离d=$\frac{|0+（-3）-7|}{\sqrt{4+1}}$=2$\sqrt{5}$，
就是所要求的两曲线间的最小距离，
故（a-c）²+（b-d）²的最小值为d²=${（2\sqrt{5}）}^{2}$=20，
故答案为：20．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．