Question

已知函数y=

2

x-1

（1）用函数单调性证明函数y=

2

x-1

在（1，+∞）上是减函数；
（2）求函数y=

2

x-1

在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据单调性的定义，设1＜x₁＜x₂，只要证明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（2）根据（1）知函数y在[2，6]上单调递减，所以x=2时，函数y取最大值，x=6时，取最小值．

解答： 解：（1）证：设x₁、x₂是区间（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
由1＜x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以函数y=

2

x-1

是区间（1，+∞）上的减函数．
（2）解：由（1）知函数y=

2

x-1

在区间[2，6]上单调递减；
∴当x=2时，y_max=2；当x=6时，y_min=

2

5

．

点评：考查单调性的定义及根据单调性定义证明函数单调性的方法，根据函数单调性求闭区间上函数的最值．