Question

已知函数f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²；
（1）求函数f（x）的定义域并判定函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由真数大于0可得

1-x＞0 1+x＞0

，从而解出函数的定义域，再验证f（-x）与f（x）的关系即可，
（2）化简f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=lg（1-x²）+x⁴-2x²，换元法令x²=t，（0≤t＜1），易知y=lg（1-t）+t²-2t在[0，1）上是减函数，从而求值域．

解答： 解：（1）由题意，

1-x＞0 1+x＞0

，
解得，-1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（-1，1），
又由f（-x）=lg（1+x）+lg（1-x）+x⁴-2x²=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（2）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²
=lg（1-x²）+x⁴-2x²，
令x²=t，（0≤t＜1），
则y=lg（1-t）+t²-2t在[0，1）上是减函数，
则lg（1-t）+t²-2t≤lg1+1-2=-1，
即函数f（x）的值域为（-∞，-1]．

点评：本题考查了函数的定义域的求法及奇偶性的判断，同时考查了函数的值域的求法，用到了换元法及单调性求值域，属于基础题．