Question

5．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱AA₁，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面BEF，则线段A₁P长度的取值范围是[$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 取BB₁的中点M，连结A₁C₁，A₁M，C₁M，推导出平面BEF∥平面A₁MC₁，由此得到线段A₁P长度的最大值为A₁C₁=$\sqrt{2}$，最小值为点A₁到线段C₁M的距离d，从而能求出线段A₁P长度的取值范围．

解答 解：取BB₁的中点M，连结A₁C₁，A₁M，C₁M，
∵在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱AA₁，CC₁的中点，
∴BE∥A₁M，BF∥C₁M，
∵BE∩BF=B，A₁M∩C₁M=M，BE，BF?平面BEF，A₁M，C₁M?平面A₁MC₁，
∴平面BEF∥平面A₁MC₁，
∵P是侧面BCC₁B₁内一点，A₁P∥平面BEF，∴P∈线段C₁M，
∵A₁C₁=$\sqrt{2}$，A₁M=C₁M=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴线段A₁P长度的最大值为A₁C₁=$\sqrt{2}$，最小值为点A₁到线段C₁M的距离d，
以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
则A₁（1，0，1），M（1，1，$\frac{1}{2}$），C₁=（0，1，1），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
∴点A₁到线段C₁M的距离：
d=|$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$|$\sqrt{1-[cos＜\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}，\overrightarrow{{C}_{1}M}＞]^{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
∴线段A₁P长度的取值范围是[$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\sqrt{2}$]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．