Question

设直线是曲线的一条切线，．
（Ⅰ）求切点坐标及的值；
（Ⅱ）当时，存在，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）切点，，切点， ．
（2）

试题分析：解：（Ⅰ）设直线与曲线相切于点，
,
, 解得或,  3分
当时，，在曲线上，∴,
当时，，在曲线上，∴,
切点，，       5分
切点， ．       7分
(Ⅱ)解法一：∵，∴，
设，
若存在，则只要， 10分 
，
(ⅰ)若即，令，得，
，∴在上是增函数，
令，解得，在上是减函数，
，,
解得， 12分
(ⅱ)若即，令，解得，
， ∴在上是增函数，
 ，不等式无解，不存在， 13分
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为． 14分
解法二：由得, 
(ⅰ)当时，，设
若存在，则只要， 10分
，
令 解得在上是增函数，
令，解得 在上是减函数，
，，     12分
（ⅱ）当时，不等式 不成立，
∴不存在，  13分
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为． 14分
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用，属于基础题。