Question

在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线.
（1）写出的方程；
（2）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围.

Answer 1

（1）（2）

试题分析：解：（Ⅰ）由题设知,
根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，
设其方程为
则， ，，所以的方程为.     
（II）依题设直线的方程为.将代入并整理得，
 . .   
设，，则，            
设的中点为，则，，
即.          
因为，所以直线的垂直平分线的方程为，
令解得，，        
当时，因为，所以；     
当时，因为，所以.   
综上得点纵坐标的取值范围是.    
点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式：（）。