Question

设P为曲线C：y=x²+2x+3上点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，则点P横坐标的取值范围为（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1]
• B、[-1，0]
• C、[0，1]
• D、[-1，-

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，由曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围得到曲线C在点P处切线的斜率的范围，设出切点坐标并代入导函数，得到切线在切点处的切线的斜率，由不等式0≤2x₀+2≤1得答案．

解答： 解：由y=x²+2x+3，得
y′=2x+2，
∵曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，
∴曲线C在点P处切线的斜率为[0，1]．
设切点坐标为（x₀，y₀），
则过切点处的切线的斜率为2x₀+2，
由0≤2x₀+2≤1，得-1≤x0≤-

1

2

．
∴点P横坐标的取值范围为[-1，-

1

2

]．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．