Question

已知数列{a_n}是各项为正数的等比数列，a₁=1，a₂+2a₃=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在常数M，使得数列{c_n}的前n项和S_n＜M，则称数列{c_n}是“上界和数列”．试判断数列{a_n}是否是“上界和数列”，并说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}公比为q，代入已知可得q的方程，解q的通项公式；
（Ⅱ）由等比数列的求和公式易得数列{a_n}的前n项和Tn=

a1(1-qn)

1-q

=2[1-(

1

2

)n]＜2，满足新定义．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}公比为q，
∵a₂+2a₃=1，∴a1q+2a1q2=1，
∴2q²+q-1=0，解得q=

1

2

或q=-1，
∵数列{a_n}为各项为正数，
∴q=

1

2

，∴an=(

1

2

)n-1
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为T_n，
∴Tn=

a1(1-qn)

1-q

=2[1-(

1

2

)n]，
∵数列{a_n}的前n项和T_n＜2，
∴数列{a_n}是“上界和数列”

点评：本题考查等比数列的性质，涉及新定义，属基础题．