Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令b_n=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

，T_n=b₁2¹+b₂2²+b₃2³+…+b_n2ⁿ，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令c_n=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n与s_n的关系求通项公式；
（2）由题意得b_n=n，Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，利用错位相减法求和；
（3）根据变好数的定义，列出不等式求解即可．

解答： 解：（1）∵Sn=n2-4n+4，∴S₁=1…（1分）
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5…（3分）
所以an=Sn-Sn-1=

1，  n=1 2n-5，n≥2

…（4分）
（2）∵bn=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

，
∴b_n=n，…（5分）Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n…（6分）
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，
∴Tn=(n-1)2n+1+2…（9分）
（3）解法一：由题设cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

…（10分）
∵n≥3时，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3时，数列{c_n}递增…（12分）
∵a4=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0⇒n≥5，可知a₄•a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，∴此处变号数有2个．…（13分）
综上，数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）
解法二：由题设cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

…（10分）
n≥2时，令cn•cn+1＜0⇒

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0⇒

3

2

＜n＜

5

2

或

7

2

＜n＜

9

2

⇒n=2或n=4；
又∵c₁=-3，c₂=5，∴n=1时也有c₁•c₂＜0．…（13分）
综上得：数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3．    …（14分）

点评：本题主要考查求数列的通项公式、前n项和知识，考查公式法及错位相减法的运用能力和学生的运算求解能力，综合性强，属于难题．