Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，在双曲线上存在点P满足3|$\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|≤2|\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$|，则双曲线的渐近线的斜率$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． $0＜\frac{b}{a}≤\frac{3}{2}$
• B． $\frac{b}{a}≥\frac{3}{2}$
• C． $0＜\frac{b}{a}≤\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{b}{a}≥\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 由OP为△F₁PF₂的中线，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OP}$，结合双曲线的范围，可得|$\overrightarrow{OP}$|≥a，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=2c，即有6a≤4c，结合双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的不等关系，由渐近线的斜率，即可得到所求范围．

解答 解：由OP为△F₁PF₂的中线，可得：
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OP}$，
由3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤2|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，
可得6|$\overrightarrow{OP}$|≤2|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，
由|$\overrightarrow{OP}$|≥a，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=2c，
可得6a≤4c，
即为9a²≤4c²，
由c²=a²+b²，
可得5a²≤4b²，
可得$\frac{b}{a}$≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线的斜率和双曲线的范围，考查中点向量的表示以及向量的模的定义，以及运算能力，属于中档题．