Question

6．某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，BC=40+30$\sqrt{3}$nmile，AD=70$\sqrt{6}$nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发向直线航行，一段时间到达D后，轮船收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出AC，计算∠ACD，利用正弦定理再计算∠ADC，故而θ=75°-∠ADC．

解答 解：连结AC，
在△ABC中，由余弦定理得：AC²=6400+（40+30$\sqrt{3}$）²-2×$80×（40+30\sqrt{3}）×\frac{1}{2}$=7500，
∴AC=50$\sqrt{3}$，
由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，即$\frac{80}{sin∠ACB}=\frac{50\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sin∠ACB=$\frac{4}{5}$，∴cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠ACD=sin（135°-∠ACB）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，即$\frac{50\sqrt{3}}{sin∠ADC}$=$\frac{70\sqrt{6}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$，
解得sin∠ADC=$\frac{1}{2}$，∴∠ADC=30°，
∴sinθ=sin（75°-30°）=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于中档题．