Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（1）求椭圆方程；
（2）过点M（3，0）作直线与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）依题意有c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x-3）．与椭圆方程联立可得（1+3k²）y²+6ky+3k²=0，利用根与系数的关系可得：S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=3$\sqrt{\frac{6{k}^{2}-9{k}^{4}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$=3$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+1}{（3{k}^{2}+1）^{2}}-1}$，令3k²+1=t≥1，可得S_△OAB=3$\sqrt{\frac{4t-3}{{t}^{2}}-1}$=3$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{3}}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）依题意有c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²=b²+c²，
可得a²=6，b²=2．
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线方程为y=k（x-3）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得（1+3k²）y²+6ky+3k²=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}×$3$\sqrt{\frac{24{k}^{2}-36{k}^{4}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$=3$\sqrt{\frac{6{k}^{2}-9{k}^{4}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$=3$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+1}{（3{k}^{2}+1）^{2}}-1}$，
令3k²+1=t≥1，则S_△OAB=3$\sqrt{\frac{4t-3}{{t}^{2}}-1}$=3$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{3}}$≤$\sqrt{3}$，当且仅当t=$\frac{3}{2}$，即k²=$\frac{1}{6}$，k=$±\frac{\sqrt{6}}{6}$时取等号．
∴△OAB面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、换元法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题题．