Question

17．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别在棱AB，CC₁，D₁A₁上，且正方体的棱长为a，AE=CF=D₁G=b，则DB₁与平面EFG所成角为（　　）

• A． 75°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 15°

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DB₁与平面EFG所成角．

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别在棱AB，CC₁，D₁A₁上，
且正方体的棱长为a，AE=CF=D₁G=b，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B₁（a，a，a），E（a，b，0），F（0，a，b），G（b，0，a），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（a，a，a），$\overrightarrow{EF}$=（-a，a-b，b），$\overrightarrow{EG}$=（b-a，-b，a），
设平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-ax+（a-b）y+bz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=（b-a）x-by+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设DB₁与平面EFG所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|3a|}{\sqrt{3}a•\sqrt{3}}$=1，
∴θ=90°，
∴DB₁与平面EFG所成角为90°，
故选：C．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．