Question

9．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心$C（3，\frac{π}{6}）$，半径r=3．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，由垂径定理能求出圆C的极坐标方程．
（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），由已知求出点Q的极坐标为（$\frac{3}{5}ρ$，θ），由此能求出点P的轨迹方程．

解答 解：（1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，
∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，由垂径定理得|ON|=|OC|cos（$θ-\frac{π}{6}$），
∴|OM|=2×3cos（$θ-\frac{π}{6}$），即ρ=6cos（$θ-\frac{π}{6}$）为所求圆C的极坐标方程．（5分）
（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），
∵P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，
∴点Q的极坐标为（$\frac{3}{5}ρ$，θ），由于点Q在圆上，所以$\frac{3}{5}$ρ=6cos（$θ-\frac{π}{6}$）．
故点P的轨迹方程为ρ=10cos（$θ-\frac{π}{6}$）．（10分）

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查动点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．