Question

7．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合．直线l过点P（-1，-1），倾斜角为45°，曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．直线l与曲线C相交于M，N两点．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l过点P（-1，-1），倾斜角为45°，能求出直线l的参数方程，由曲线C的极坐标方程为ρ²=ρsinθ+ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，由此能求出线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l过点P（-1，-1），倾斜角为45°，
∴直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$．
∵曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴ρ²=ρsinθ+ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程：x²+y²-x-y=0．（6分）
（Ⅱ）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$代入到：x²+y²-x-y=0．
得${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$．（9分）
|PM||PN|=|t₁t₂|=4．（12分）

点评 本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．