Question

如图，在棱长为1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M为棱A₁B₁的中点，试求：
（1）三棱锥M-ABC的体积；
（2）直线MC与BB₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AA₁⊥底面ABC，AA₁=1，S_△ABC=

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

，由此能求出三棱锥M-ABC的体积．
（2）以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MC与BB₁所成角的大小．

解答： 解：（1）在棱长为1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥底面ABC，AA₁=1，
S_△ABC=

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

，
∴三棱锥M-ABC的体积：
V=

1

3

×AA1×S△ABC=

1

3

×1×

3

4

=

3

12

．
（2）以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则M（

3

4

，

1

4

，1），C（0，2，0），
B（

3

2

，

1

2

，0），B₁（

3

2

，

1

2

，1），

MC

=（-

3

4

，

7

4

，-1），

BB1

=（0，0，1），
|cos＜

MC

，

BB1

＞|=|

-1

3 16 + 49 16 +1

|=

2 17

17

．
∴直线MC与BB₁所成角的大小为arccos

2 17

17

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．