Question

如图在△ABC的长边AB上取AN=AC，BM=BC，点I为三角形ABC的内心 求证：
（1）点I是△MNC的外心；
（2）∠MIN=∠ABC+∠BAC．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定

专题：直线与圆

分析：（1）根据题意，可证△MBI≌△CBI，则MI=CI；同理，可证NI=CI，所以MI=NI=CI，因此点I是△MNC的外心；
（2）首先根据△MBI≌△CBI，可得∠BMI=∠BCI，同理，可得∠ANI=∠ACI，又因为∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

解答： 证明：（1）如图，∵点I是△ABC的内心，
∴∠MBI=∠CBI，BM=MC，BI=BI，
∴△MBI≌△CBI，
则MI=CI；
同理，可证NI=CI，
所以MI=NI=CI，
因此点I是△MNC的外心；
（2）因为△MBI≌△CBI，
所以∠BMI=∠BCI，
同理，可得∠ANI=∠ACI，
又因为∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，
∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，
所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

点评：本题主要考查了三角形外接圆的判定，考查了三角形的内心的性质，以及三角形全等的判定，属于中档题，解答此题的关键是正确区分三角形的内外心．