题目内容
已知向量
=（cosθ，sinθ）（θ∈R），
=（
，1）．
（1）当
⊥
时，求tan2θ的值；
（2）求|
+
|的最大值．
| a |
| b |
| 3 |
（1）当
| a |
| b |
（2）求|
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）运用向量垂直的坐标表示，求出tanθ=-
，再由二倍角的正切公式，即可得到答案；
（2）求出向量a，b的模和它们的数量积，再由|
+
|=
，运用三角函数的两角和的正弦公式，即可求出最大值．
| 3 |
（2）求出向量a，b的模和它们的数量积，再由|
| a |
| b |
|
|
解答：
解：（1）∵
⊥
，∴
•
=0，
∴（cosθ，sinθ）•（
，1）=0，
即
cosθ+sinθ=0，
∴tanθ=-
，
∴tan2θ=
=
=
；
（2）∵|
|=1，|
|=2，
•
=
cosθ+sinθ，
∴|
+
|=
=
=
=
∴当sin（θ+
）=1时，|
+
|的最大值为
=3．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（cosθ，sinθ）•（
| 3 |
即
| 3 |
∴tanθ=-
| 3 |
∴tan2θ=
| 2tanθ |
| 1-tan2θ |
-2
| ||
| 1-3 |
| 3 |
（2）∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
∴|
| a |
| b |
|
|
|
=
1+4+2(
|
=
5+4sin(θ+
|
∴当sin（θ+
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| 5+4 |
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，向量垂直的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．
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