Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S₄=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

(an+3)•(an+1+3)

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求出公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ求出b_n=

1

(an+3)•(an+1+3)

的通项公式，利用裂项法即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，S₄=16．
∴S₄=4a₁+

4×3

2

d=4+6d=16．
即6d=12，解得d=2，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）∵a_n=2n-1；
∴b_n=

1

(an+3)•(an+1+3)

=

1

(2n-1+3)(2n+1+3)

=

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

4

•

1

(n+1)(n+2)

=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+2

），
则数列{b_n}的前n项和T_n=

1

4

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

4

（

1

2

-

1

n+2

）=

1

8(n+2)

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及利用裂项法求和，要求熟练掌握求和的常见方法．