题目内容
11．某师范院校志愿者协会有10名同学，成员构成如表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”的概率为$\frac{1}{5}$．| 专业 性别 | 中文 | 英语 | 数学 | 体育 |
| 男 | m | 1 | n | 1 |
| 女 | 1 | 1 | 1 | 1 |
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的概率．
（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生”的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
分析 （Ⅰ）由题意可知，$\frac{1+m}{10}=\frac{1}{5}$．由此能求出m，n．
（Ⅱ）先求出基本事件总数，再求出选出的3名同学恰为专业互不相同，包含的基本事件个数，由此能求出选出的3名同学恰为专业互不相同的概率．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答 解：（Ⅰ）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”．由题意可知，“中文专业”的学生共有（1+m）人．
则P（A）=$\frac{1+m}{10}=\frac{1}{5}$．解得m=1，
∴n=10-2-2-2-1=3．
（Ⅱ）从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同），
基本事件总数$n={C}_{10}^{3}$=120，
选出的3名同学恰为专业互不相同，包含的基本事件个数：
m=${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=56，
∴选出的3名同学恰为专业互不相同的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{56}{120}$=$\frac{7}{15}$．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{20}{120}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{4}{120}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{20}{120}$ | $\frac{60}{20}$ | $\frac{36}{120}$ | $\frac{4}{120}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的要布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
| A． | a＞b＞c | B． | c＞b＞a | C． | c＞a＞b | D． | a＞c＞b |
| A． | ?x＞0，x2＜0 | B． | ?x＞0，x2≤0 | C． | $?{x_0}＞0，{x_0}^2＜0$ | D． | $?{x_0}＞0，{x_0}^2≤0$ |
| A． | {x|x≥-$\frac{5}{3}$} | B． | {x|x≥-$\frac{5}{3}$且x≠$\frac{1}{2}$} | C． | {x|x＞-$\frac{5}{3}$} | D． | {x|x≤-$\frac{5}{3}$} |