Question

菱形ABCD的边长为3，AC与BD交于O，且∠BAD=60°．将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥B-ADC（如图），点M是棱BC的中点，DM=

3 2

2

．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅱ）求三棱锥M-ABD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明OD⊥OM．OD⊥AC．OM∩AC=O，证明OD⊥平面ABC，然后证明平面ABC⊥平面MDO．
（Ⅱ）判断OD为三棱锥D-ABC的高，求出△ABM，然后求解三棱锥的体积．

解答： （Ⅰ）证明：由题意，OM=OD=

3

2

，
因为DM=

3 2

2

，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（3分）
又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．
因为OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，
因为OD?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅱ）解：三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积．
由（Ⅰ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=

3

2

为三棱锥D-ABM的高． …（8分）
△ABM的面积为

1

2

×3×

3

2

×

3

2

=

9 3

8

，…（10分）
所求体积等于

1

3

×

9 3

8

×

3

2

=

9 3

16

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，考查基本知识的灵活运用，逻辑推理能力与计算能力．