Question

已知抛物线y=x²+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x²+bx+c的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，根据导数的几何意义，求出b，c的值，利用二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：∵y=x²+bx+c，
∴函数的导数为f′（x）=2x+b，
∴抛物线在点（1，2）处的切线斜率k=2+b，
∵切线与直线x+y+2=0垂直，
∴2+b=1，即b=-1，
∵点（1，2）也在抛物线上，
∴1+b+c=2，得c=2．
即函数y=x²+bx+c=x²-x+2=（x-

1

2

）²+

7

4

，
∴当x=

1

2

时，函数取得最小值

7

4

，函数无最大值．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线垂直的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．