Question

（文）已知函数f（x）=mx-

m

x

-2lnx（m∈R）
（1）若f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（2）设g（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导得f′(x)=

mx2-2x+m

x2

，由y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，知关于x的不等式mx²-2x+m≥0在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式mx²-2x+m≤0在区间[1，+∞）上恒成立，分离参数后化为求函数的最值，利用基本不等式易求函数的最值；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x），即F(x)=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．则只需F（x）_max＞0即可，分m≤0，m＞0两种情况讨论，m≤0时可判断函数的符号；m＞0时利用导数可得函数的最大值；

解答： （文）解：（1）f′(x)=

mx2-2x+m

x2

，
∵y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，
∴关于x的不等式mx²-2x+m≥0在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式mx²-2x+m≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
即关于x的不等式m≥

2x

1+x2

在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式m≤

2x

1+x2

在区间[1，+∞）上恒成立，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

，
∵x+

1

x

在x∈[1，+∞）时的取值范围是[2，+∞），
∴

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

在x∈[1，+∞）时的取值范围是（0，1]，
∴m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x），即F(x)=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．
当m≤0时，∵x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2ln-

2e

x

＜0，
∴F（x）＜0，即在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
当m＞0时，F′(x)=

mx2-2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，∴F'（x）＞0在x∈[1，e]时恒成立．
故F（x）F（x）在x∈[1，e]时单调递增，F(x)max=F(e)=me-

m

e

-4，
只要me-

m

e

-4＞0，解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力．