Question

18．（Ⅰ） 在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，当P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为曲线为C，斜率为k（k≠0）的直线l交曲线C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，记直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，当3（k₁+k₂）=8k时，证明：直线l过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点Q（x，y），P（x₀，y₀），则x=x₀，y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，由x₀+y₀=4可得x²+4y²=4，即可得答案；
（Ⅱ）依题意可设直线l的方程为x=my+n，代入椭圆方程得：（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：设点Q（x，y），P（x₀，y₀），
则x=x₀，y=$\frac{{y}_{0}}{2}$．
由x₀+y₀=4可得x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
∴线段PD的中点Q的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）证明：依题意可设直线l的方程为x=my+n，
代入椭圆方程得：（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2mn}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{n}^{2}-4}{{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}（m{y}_{2}+n）+{y}_{2}（m{y}_{1}+n）}{（m{y}_{1}+n）（m{y}_{2}+n）}$
=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+n（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+mn（{y}_{1}+{y}_{2}）+{n}^{2}}=\frac{2m}{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
由条件有$\frac{6m}{{m}^{2}-{n}^{2}}=\frac{8}{m}$，得$n=±\frac{1}{2}m$．
则直线l的方程为$x=my±\frac{1}{2}m$，从而直线l过定点（0，$\frac{1}{2}$）或（0，$-\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了轨迹方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，是中档题．