Question

1．已知椭圆C以原点为对称中心、右焦点为F（2，0），长轴长为4$\sqrt{2}$，直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆C于不同点两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）由题意$\left\{{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{2}}\\{c=2}\\{{b^2}={a^2}-{c^2}}\end{array}}\right.$，得a²，b²，
（2）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，△＞0及k_NQ•k=-1 进行判定．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
由题意$\left\{{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{2}}\\{c=2}\\{{b^2}={a^2}-{c^2}}\end{array}}\right.$，得a²=8，b²=4，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（5分）
（2）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，…（6分）
△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，所以8k²-m²+4＞0，…（7分）
${x_1}+{x_2}=-\frac{4mk}{{1+2{k^2}}}$，∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{2mk}{{1+2{k^2}}}$，${y_0}=k{x_0}+m=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$，…（8分）
∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴k_NQ•k=-1，即$\frac{{{y_0}-3}}{x_0}•k=-1$，∴-m=3+6k²，…（10分）
∵△＞0，整理得36k⁴+28k²+5＜0，显然矛盾∴不存在满足题意的k的值．…（12分）

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系、存在性问题、韦达定理、运算能力，属于中档题．