Question

4．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与椭圆4x²+2y²=1的一个焦点重合，直线l：y=-x+b与此抛物线交于不同的两点B，C．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若|BC|≤4，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的焦点，即可求此抛物线的方程；
（2）根据韦达定理，求出|BC|，利用|BC|≤4，求b的取值范围．

解答 解：（1）椭圆4x²+2y²=1的焦点为$（0，\;\frac{1}{2}）$，$（0，\;-\frac{1}{2}）$，由题意得$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，即p=1，
所以，该抛物线方程为x²=2y．…（2分）
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\;y=-x+b\\ \;{x^2}=2y\end{array}\right.$得x²+2x-2b=0，…（3分）
根据题意△=4+8b＞0，即$b＞-\frac{1}{2}$．①…（4分）
又x₁+x₂=-2，x₁x₂=-2b，所以$|{BC}|=\sqrt{2}•|{\;{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}•\sqrt{4+8b}$，
由于|BC|≤4，所以$\sqrt{2}•\sqrt{4+8b}≤4$，解得$b≤\frac{1}{2}$，…（7分）
再结合①式得$-\frac{1}{2}＜b≤\frac{1}{2}$．…（8分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．