Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0），A（0，2），且|AF|=$\sqrt{7}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，当直线l与椭圆C有唯一公共点M时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），若|MH|=$\frac{3}{5}$|OM|，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由已知|AF|=$\sqrt{7}$，可得$\sqrt{{c}^{2}+4}=\sqrt{7}$，求得c，再由椭圆离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设M为（x₀，y₀），由|MH|=$\frac{3}{5}$|OM|，利用勾股定理得|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0可得m与k的关系，并求出M的坐标，得到|OM|，再由点到直线的距离公式求得|OH|，代入|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|即可求得k值．

解答 解：（1）由F（c，0），A（0，2），且|AF|=$\sqrt{7}$，得
$\sqrt{{c}^{2}+4}=\sqrt{7}$，解得c=$\sqrt{3}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=2，则b²=a²-c²=1，
故椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设M（x₀，y₀），由|MH|=$\frac{3}{5}$|OM|，知|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
令△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，得m²=1+4k²，
且${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}=\frac{1}{1+4{k}^{2}}$，
∴$|OM{|}^{2}={{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由点到直线距离公式可得|OH|=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
则$|OH{|}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
由|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，得|OH|²=$\frac{16}{25}$|OM|²，即16k⁴-8k²+1=0，
解得：${k}^{2}=\frac{1}{4}$，k=$±\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．