Question

11．设函数f（x）=|2x+2|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）＞7 的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|3m-2|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为只需[f（x）]_min≤|3m-2|即可，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）＞7，即|2x+2|+|2x-3|＞7，
故$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-（2x+2）-（2x-3）＞7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜\frac{3}{2}}\\{（2x+2）-（2x-3）＞7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{（2x+2）+（2x-3）＞7}\end{array}\right.$，
解得：x＜-$\frac{3}{2}$或x＞2，
即不等式的解集是：{x|x＜-$\frac{3}{2}$或x＞2}；
（2）f（x）≤|3m-2|，
故只需[f（x）]_min≤|3m-2|即可，
又f（x）=|2x+2|+|2x-3|≥|（2x+2）-（2x-3）|=5，
∴|3m-2|≥5，即m≤-1或m≥$\frac{7}{3}$，
故m的范围是（-∞，-1]∪[$\frac{7}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式，考查绝对值的性质以及转化思想，是一道中档题．