Question

19．在△ABC中，已知A=30°，a=2．
（1）若C=105°，求边b的长；
（2）若△ABC为锐角三角形，求角B的取值范围；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边b的长度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得B=45°，由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$，代值计算可得；
（2）由题意可得C=150°-B，由锐角三角形可得0°＜B＜90°且0°＜150°-B＜90°，解不等式组可得；
（3）由b=$\frac{asinB}{sinA}$=4sinB和（2）中求出的B的范围可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中A=30°，a=2，C=105°，
∴B=180°-（A+C）=45°，
∴由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）∵A=30°，∴C=150°-B，
由锐角三角形可得0°＜B＜90°且0°＜150°-B＜90°，
解得60°＜B＜90°；
（3）由（2）可得60°＜B＜90°，
由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=4sinB∈（2$\sqrt{3}$，4）

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及锐角三角形的知识，属基础题．